Nombre dérivé et fonction racine carrée - Exercice résolu

On considère la fonction $f:\mapsto \sqrt{4+x}$ définie sur $[-4;+\mathrm{\infty }[.$ Soit ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Le but de cet exercice est de déterminer $f^{\prime }(5).$

Partie A    Expression conjuguée

1. a. Développer : $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})$ .

    b. En déduire que : ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}}\cdot$

2. Démontrer les égalités suivantes :

    a. ${\displaystyle \frac{\sqrt{11}-3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}+3}}\cdot$

    b. Démontrer que pour tout  $h>-4$ : 

                                                          $\sqrt{4+h}-2={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{4+h}+2}}\cdot$

    c. Démontrer que pour tout  $h>-9$ :

                                                           $\sqrt{9+h}-3={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{9+h}+3}}\cdot$

Partie B   Calcul de $f^{\prime }(5)$

On considère les points  de  ${\mathcal{C}}_f$ suivants :

• A d'abscisse $a=5$  ;
  
• B d'abscisse $b=5+h$ , où $h$ désigne un réel non nul, tel que $5+h⩾-4$ . En particulier, les points A et B sont distincts.
  

1. a. Calculer l'ordonnée de A.

   b. Calculer l'ordonnée de B en fonction de $h$ .

   c. Que se passe-t-il géométriquement pour B pour $h$ très proche de 0 ?

   d. Que peut-on dire de la sécante $(\text{AB})$ lorsque $h$ se rapproche indéfiniment de 0 ?

2. a. Rappeler l'expression générale du taux d'accroissement  $\tau (h)$ de $f$ entre $a$  et $b$ .

    b. Montrer que   $\tau (h)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{9+h}+3}}$ .

    c. En utilisant éventuellement le tableau de la calculatrice, déterminer de quelle valeur se rapproche $\tau$ lorsque $h$ se rapproche de 0.

    d. Conclure.
Solution

Partie A   Expression conjuguée

1. a. $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=7-5=2$

    b. En multipliant  le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ , on obtient: ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}}\cdot$

2. Les calculs suivants se font en utilisant la même astuce de calcul, que l'on peut énoncer ainsi.

Si   $a$ et  $b$   sont deux réels strictement positifs, alors :

                  ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}}$     et   ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}}$

    a. ${\displaystyle \frac{\sqrt{11}-3}{2}}={\displaystyle \frac{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)}{2(\sqrt{11}+3)}}={\displaystyle \frac{11-3^2}{2(\sqrt{11}+3)}}={\displaystyle \frac{2}{2(\sqrt{11}+3)}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}+3}}$

    b. $\sqrt{4+h}-2={\displaystyle \frac{(\sqrt{4+h}+2)(\sqrt{4+h}-2)}{\sqrt{4+h}+2}}={\displaystyle \frac{4+h-4}{\sqrt{4+h}+2}}={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{4+h}+2}}$

    c.  $\sqrt{9+h}-3={\displaystyle \frac{(\sqrt{9+h}+3)(\sqrt{9+h}-3)}{\sqrt{9+h}+3}}={\displaystyle \frac{h}{\sqrt{9+h}+3}}$

Partie B    Calcul de $f^{\prime }(5)$

On considère les points de ${\mathcal{C}}_f$ suivants :

• A d'abscisse $a=5$  ;
  
• B d'abscisse $b=5+h$ , où $h$ désigne un réel non nul. En particulier, les points A et B sont distincts.
  

1. a. $f(5)=\sqrt{9}=3$ . L' ordonnée du point A est donc égale à 3.

   b. L'ordonnée de B est égale à $f(5+h)=\sqrt{9+h}$ .

   c. Si $h$ est très proche de 0,  le point B est  très proche du point A.

   d. Lorsque $h$ se rapproche de 0, la sécante  $(\text{AB})$  se rapproche de la tangente à  $mathcal{C}_f$  au point A.

2. a.  $\tau (h)={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ de $f$ entre $a$  et $b$ .

    b.  En reprenant le résultat  de la question 2. c de la partie A, on obtient : $\tau (h)={\displaystyle \frac{\sqrt{9+h}-3}{5+h-5}}={\displaystyle \frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{9+h}+3}}$ .

    c. $\tau (h)$ se rapproche de ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ lorsque $h$ se rapproche de 0.

    d. Lorsque $h$ se rapproche de 0, la sécante  $(\text{AB})$ se rapproche de sa position limite qui est la tangente à $mathcal{C}_f$ au point A. Cette tangente a pour coefficient directeur $f^{\prime }(5)$ par définition.

Donc d'après la question précédente : $f^{\prime }(5)={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot$