Nombre dérivé et fonction racine carrée - Exercice résolu

On considère la fonction `f:\mapsto \sqrt{4+x}` définie sur \([-4~;+\infty[.\) Soit `\mathcal{C}_f` sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Le but de cet exercice est de déterminer `f'(5).`

Partie A    Expression conjuguée

1. a. Développer : \((\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})\) .

    b. En déduire que : \(\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}= \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\cdot\)

2. Démontrer les égalités suivantes :

    a. \(\dfrac{\sqrt{11}-3}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{11}+{3}}\cdot\)

    b. Démontrer que pour tout  \(h>-4\) : 

                                                          \({\sqrt{4+h}-2}=\dfrac{h}{\sqrt{4+h}+2}\cdot\)

    c. Démontrer que pour tout  \(h>-9\) :

                                                           \({\sqrt{9+h}-3}=\dfrac{h}{\sqrt{9+h}+3}\cdot\)

Partie B   Calcul de `f'(5)`

On considère les points  de  `\mathcal{C}_f` suivants :

• A d'abscisse \(a=5\)  ;
  
• B d'abscisse \(b=5+h\) , où \(h\) désigne un réel non nul, tel que \(5+h\geqslant -4\) . En particulier, les points A et B sont distincts.
  

1. a. Calculer l'ordonnée de A.

   b. Calculer l'ordonnée de B en fonction de \(h\) .

   c. Que se passe-t-il géométriquement pour B pour \(h\) très proche de 0 ?

   d. Que peut-on dire de la sécante `(\text{AB})` lorsque `h` se rapproche indéfiniment de 0 ?

2. a. Rappeler l'expression générale du taux d'accroissement  `\tau (h)` de `f` entre `a`  et \(b\) .

    b. Montrer que   \(\tau (h)= \dfrac{1}{\sqrt{9+h}+3}\) .

    c. En utilisant éventuellement le tableau de la calculatrice, déterminer de quelle valeur se rapproche `\tau` lorsque \(h\) se rapproche de 0.

    d. Conclure.
Solution

Partie A   Expression conjuguée

1. a. \((\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2\)

    b. En multipliant  le numérateur et le dénominateur par `\sqrt{7}-\sqrt{5}` , on obtient: \(\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}= \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\dfrac{\sqrt7-\sqrt{5}}{2}\cdot\)

2. Les calculs suivants se font en utilisant la même astuce de calcul, que l'on peut énoncer ainsi.

Si   \(a\) et  `b`   sont deux réels strictement positifs, alors :

                  \(\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a- b}\)     et   \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a- b}\)

    a. \(\dfrac{\sqrt{11}-3}{2}=\dfrac{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)}{2(\sqrt{11}+3)}=\dfrac{11-3^2}{2(\sqrt{11}+{3})}= \dfrac{2}{2(\sqrt{11}+{3})}= \dfrac{1}{\sqrt{11}+{3}}\)

    b. \({\sqrt{4+h}-2}=\dfrac{(\sqrt{4+h}+2)(\sqrt{4+h}-2)}{\sqrt{4+h}+2}=\dfrac{4+h-4}{\sqrt{4+h}+2}=\dfrac{h}{\sqrt{4+h}+2}\)

    c.  \({\sqrt{9+h}-3}=\dfrac{(\sqrt{9+h}+3)(\sqrt{9+h}-3)}{\sqrt{9+h}+3}=\dfrac{h}{\sqrt{9+h}+3}\)

Partie B    Calcul de `f'(5)`

On considère les points de `\mathcal{C}_f` suivants :

• A d'abscisse \(a=5\)  ;
  
• B d'abscisse \(b=5+h\) , où \(h\) désigne un réel non nul. En particulier, les points A et B sont distincts.
  

1. a. \(f(5)=\sqrt{9}=3\) . L' ordonnée du point A est donc égale à 3.

   b. L'ordonnée de B est égale à `f(5+h)=\sqrt{9+h}` .

   c. Si `h` est très proche de 0,  le point B est  très proche du point A.

   d. Lorsque `h` se rapproche de 0, la sécante  `(\text{AB})`  se rapproche de la tangente à  `mathcal{C}_f`  au point A.

2. a.  \(\tau (h)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) de `f` entre `a`  et \(b\) .

    b.  En reprenant le résultat  de la question 2. c de la partie A, on obtient : \(\tau(h)= \dfrac{\sqrt{9+h}-3}{5+h-5}=\dfrac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\dfrac{1}{\sqrt{9+h}+3}\) .

    c. `\tau (h)` se rapproche de \(\dfrac{1}{6}\) lorsque \(h\) se rapproche de 0.

    d. Lorsque \(h\) se rapproche de 0, la sécante  \((\text{AB})\) se rapproche de sa position limite qui est la tangente à `mathcalC_f` au point A. Cette tangente a pour coefficient directeur `f'(5)` par définition.

Donc d'après la question précédente : \(f'(5)=\dfrac{1}{6}\cdot\)